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      高二數學知識點總結:雙曲線

      2013-02-28 09:47

      來源:新東方網

      編輯:新東方小編

        


      雙曲線方程

        1. 雙曲線的第一定義:



        ⑴①雙曲線標準方程:

      .
          一般方程:


        ⑵①i. 焦點在x軸上:

        頂點: 焦點:  準線方程

          漸近線方程:
         或


        ii. 焦點在軸上:頂點:. 焦點:. 準線方程:

      .
      漸近線方程:或,參數方程:
      或.


        ②軸為對稱軸,實軸長為2a, 虛軸長為2b,焦距2c.

       ③離心率.

      ④準線距(兩準線的距離);通徑
      .
       ⑤參數關系
      .
      ⑥焦點半徑公式:對于雙曲線方程
      (分別為雙曲線的左、右焦點或分別為雙曲線的上下焦點)


        “長加短減”原則:


      構成滿足
      (與橢圓焦半徑不同,橢圓焦半徑要帶符號計算,而雙曲線不帶符號)




        ⑶等軸雙曲線:雙曲線稱為等軸雙曲線,其漸近線方程為,離心率.

        ⑷共軛雙曲線:以已知雙曲線的虛軸為實軸,實軸為虛軸的雙曲線,叫做已知雙曲線的共軛雙曲線.與互為共軛雙曲線,它們具有共同的漸近線:

      .



      ⑸共漸近線的雙曲線系方程:的漸近線方程為如果雙曲線的漸近線為
      時,它的雙曲線方程可設為.


        例如:若雙曲線一條漸近線為且過,求雙曲線的方程?


        解:令雙曲線的方程為:,代入得.


        ⑹直線與雙曲線的位置關系:

        區域①:無切線,2條與漸近線平行的直線,合計2條;

        區域②:即定點在雙曲線上,1條切線,2條與漸近線平行的直線,合計3條;

        區域③:2條切線,2條與漸近線平行的直線,合計4條;

        區域④:即定點在漸近線上且非原點,1條切線,1條與漸近線平行的直線,合計2條;

        區域⑤:即過原點,無切線,無與漸近線平行的直線.

        小結:過定點作直線與雙曲線有且僅有一個交點,可以作出的直線數目可能有0、2、3、4條.

        (2)若直線與雙曲線一支有交點,交點為二個時,求確定直線的斜率可用代入法與漸近線求交和兩根之和與兩根之積同號.

        ⑺若P在雙曲線,則常用結論1:P到焦點的距離為m = n,則P到兩準線的距離比為m︰n.


        簡證:

      常用結論2:從雙曲線一個焦點到另一條漸近線的距離等于b.
       
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