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      小學數學中最易混淆的15條基礎概念

      2016-12-21 09:57

      來源:來自互聯網

      編輯:新東方小編

        小學數學是很重要的打基礎階段,這就要求孩子們一定要掌握正確的學習方法,基礎概念在數學的學習中尤為重要。下面是新東方小編為大家準備的小學數學中比較易混淆的基礎概念,希望對大家有所幫助。

            1、最小的一位數是0還是1?

        這個問題在很長一段時間存在爭論。先來看看《九年義務教育六年制小學數學第八冊教師教學用書》第98頁“關于幾位數”的敘述:“通常在自然數里,含有幾個數位的數,叫做幾位數。例如“2”是含有一個數位的數,叫做一位數;“30”是含有兩個數位的數,叫做兩位數;“405”是含有三個數位的數,叫做三位數……但是要注意:一般不說0是幾位數。

        再來聽聽專家的說明:在自然數的理論中,對“幾位數”是這樣定義的,“只用一個有效數字表示的數,叫做一位數;只用兩個數字(其中左邊第一個數字為有效數字)表示的數,叫做兩位數……所以,在一個數中,數字的個數是幾(其中最左邊第一個數字為有效數字),這個數就叫幾位數。

        于此,所謂最大的幾位數,最小的幾位數,通常是在非零自然數的范圍研究。所以一位數共有九個,即:1、2、3、4、5、6、7、8、9。

        0不是最小的一位數。

        2、為什么0也是自然數?

        課標教材對“0也是自然數”的規定,顛覆了人們對自然數的傳統認識。

        于此,中央教科所教材編寫組主編陳昌鑄如是說:國際上對自然數的定義一直都有不同的說法,以法國為代表的多數國家都認為自然數從0開始,我國教材以前一直都是遵循前蘇聯的說法,認為0不是自然數。2000年教育部主持召開教材改編會議時,已明確提出將0歸為自然數。這次改版也是與國際慣例接軌。

        從教學實踐層面來說,將“0”規定為“自然數”也有著積極的現實意義。

        2.1  “0”作為自然數的“好處”

        眾所周知,數學中的集合被分為有限集合和無限集合兩類。有限集合是含有有限個元素的集合,像某班學生的集合。無限集合是含有的元素個數是非有限的集合,如分數的集合。因為自然數具有“基數”的性質,因此用自然數來描述有限集合中元素的個數是很自然的。

        但在有限集合中,有一個最主要也是最基本的集合,叫空集{},元素個數為0。如果不把0作為自然數,那么空集的元素的個數就無法用自然數來表示了。如果把“0”作為一個自然數,那么自然數就可以完成刻畫“有限集合元素個數”的任務了。于此,從“自然數的基數性”這個角度,我們看到了把“0”作為自然數的好處。

        2.2  把“0”作為自然數,不會影響自然數的 “運算功能”

        “0”加入傳統的自然數集合,所有的“運算規則”依舊保持,如新自然數集合{0,1,2,…,n,…}中的任何兩個自然數都可以進行加法和乘法運算,而運算結果仍然是自然數。同時,加法、乘法運算的結合律和交換律,以及乘法的分配律也不會受到影響。

        所以,“0”加盟到自然數集合實屬理所當然,而不僅僅是人為的“規定”。它讓我們更好地理解自然數和它的功能,同時也讓我們意識到教學時不僅要知道和記住數學的“定義”和“規定”,還應該思考“規定”背后的數學涵義。

        3、什么是有效數字一無效數字?

        有效數字是對一個數的近似值的精確程度而提出的。同一個近似數如果在取舍時,保留的有效數字多,就比保留的有效數字少更精確。

        一般說,一個近似數四舍五入到哪一位,就說這個近似數精確到哪一位。這時,從左邊第一個非零的數字起,到那一位上的所有數字都叫做這個數的有效數字。

        如近似數0.00309有三個有效數字:3、0、9;0.520也有三個有效字:5、2、0。

        而0.00309中左邊的三個零,0.520中左邊的一個零,都叫做無效數字。

        4、加法與減法、乘法與除法是否互為逆運算?

        “加法與減法互為逆運算、乘法與除法互為逆運算”這似乎成了許多老師的口頭禪,這其實是一種誤解。例如:

        加法“2+3=5”,其逆算為“5-2=3”,“5-3=2”。

        故此,加法的逆運算只有減法;

        減法“5-2=3”,其逆算有 “5-3=2”, “2+3=5”。

        故此,減法的逆運算有減法和加法兩種運算。

        綜上可知,只能說減法是加法的逆運算,而不能說加法與減法互為逆運算。

        同理,也只能說除法是乘法的逆運算,而不能說乘法與除法互為逆運算。

        5、為什么不寫“倍”?

        在學習“求一個數是另一個數的幾倍”應用題時,很多小朋友會自然提出這樣的疑問,如:“飼養小組養了12只小雞,3只小鴨,小雞的只數是小鴨的幾倍?”為什么“12÷3=4”的后面不寫“倍”呢?

        我們首先應該肯定學生的質疑(學生有較強的解題規范意識)。但同時又該對學生說明:在解答應用題時,得數后面一般要寫上的是數的單位名稱

        如:12只的“只”;8克的“克”。一個數只有帶上單位名稱,才能準確地表示出一個物體的多少、大小、長短、輕重等等。但是,“倍”不是單位名稱,它表示兩個數量之間的一種關系。例如,上面的計算結果“4”,表示12里面有4個3,就是12只小雞是3只小鴨的4倍。

        所以,在算式里不寫“倍”,以免“倍”與單位名稱發生混淆。

        6、“倍”和“倍數”的區別

        在第一學段我們學習了“倍的初步認識”,認識了概念“倍”,而在第二學段,我們又學習到“倍數”這個概念。那么,“倍”和“倍數”這兩個詞到底是不是一回事呢?這兩個詞之間有什么區別呢?

        “倍”指的是數量關系,它建立在乘除法概念的基礎上。例如:男生有10人,女生有30人,因為“10×3=30”或者“30÷10=3”,我們就說,女生人數(30)是男生人數(10)的3倍,也可以說,男生人數(10)的3倍等于女生人數(30)。勿寧說,“倍”其實表示的是兩個數的商(這個商可以是整數、小數、分數等各種表現形式)。

        “倍數”指的是數與數之間的聯系,它建立在整除概念的基礎上。例如,30能被6整除,30就是6的倍數。可見,“倍數”是不能獨立存在的(具有特定的指向性),而且對數的形式有特別的要求(必須為整數)。

        同時我們又看到,30也是6的5倍,因為6×5=30,“6×5”表示6的5倍。所以從這個角度來說,“倍”的涵義應寬泛于“倍數”,后者可以視為前者在特定情形下的一種表現。

        7、“時”和“小時”有什么不同?怎樣使用“時”和“小時”?

        首先應該明確的是,〔小〕時并非國際時間單位。在1984年國務院發布的《關于我國統一法定計量單位的命令》中,把秒作為時間的基本單位,把非國際單位制的時間單位天(日)、〔小〕時、分作為輔助單位。

        (注:〔〕里的字,在不致混淆的情況下,可以省略)。

        這樣,在我國范圍內使用的法定時間單位就有:天(日)、〔小〕時、分、秒。

        由此,“時”既可以表示時間,又可以表示時刻。由于“時間”和“時刻”這兩個不同的概念容易產生混淆,在實際應用時間單位“時”時,

        現行教材作了如下處理:

        7.1當列式計算出時間的長短時,在得數的括號里寫上時間的單位“時”。例如:超市營業時間:21-9=12(時)。(此處可省略“小”字)

        7.2在用語言表述時間的長短時,為避免“時間”和“時刻”這兩個概念產生混淆,則在“時”的前面加上一個“小”字。例如:超市營業時間12小時。

        7.3  在用語言表示時刻時,一律不得出現“小時”字樣。例如:公園每天早上7時30分開園(而非7小時30分)。

        8、“改寫”和“省略”是一樣的嗎?

        從形式上看,此例將“改寫”與“省略”兩種對數的變化置于了同一個要求之下(即改寫成用“億”作單位的數)。我們真希望編者不是有意而為之,因為“改寫”與“省略”其本質是完全不同的。

        表現在:

        8.1目的不同

        “改寫”的目的是方便對大數的讀寫,而“省略”則是取數的近似值。

        8.2方法不同

        此處的“改寫”是去掉“億”位后面的0,再寫上一個“億”字,而“省略”除了要找準“億”位,還要考慮被省略的尾數的最高位是幾,然后用四舍五入法求出近似數。

        8.3符號不同

        “改寫”只改變了數的表現形式,大小并未改變,所以用“=”號連接;而“省略”既改變了數的形式,又改變的數的大小,所以用“≈”連接。

        9、“路程”就是“距離”嗎?

        這兩個詞在許多老師的教學語言中是替代使用的,其實不然。

        “路程”是指從一個地點到另一個地點所經過路線的長度;而“距離”則指連接兩個地點而成的直線段的長度。

        “路程”所經過的路線可以是曲形線,也可以是直形線,還可能是折形線。

        一般情況下,兩個地點之間的“路程”要大于它們之間的“距離”,只有當兩個地點之間的路線為直線時,路程和距離才相等。

        雖然老師們都知道這個等式是成立的,但我們的學生卻沒有相應的知識儲備,怎樣繞開”極限”尋找能為小學生所理解和接受的證明途徑。

        10、最大的分數單位是1/2還是1/1?

        先看看分數單位的含義:把單位“1”平均分成若干份,表示這樣一份的數。

        顯然,在分數意義中,關鍵是“分”,沒有“分”,就沒有“份”。

        因為把單位“1”平均分成的最少份數是2份(如果是1份,也就無所謂“分”),由此得到的分數單位是1/2,所以1/2是最大的分數單位。

        盡管就廣義的分數來說,1/1也可視作分數,但它已不是我們通常意義上認識的與整數對立的那種分數(在平均分的基礎上所產生),故此,最大的分數單位應以1/2為宜。

        11、像 0/3、0.2/3、3/0.2這樣的數是不是分數?

        分數的定義明確告訴我們:把單位“1”平均分成若干份,表示這樣一份或幾份的數,叫分數。其中,分成的份數叫做分數的分母,要表示的份數叫做分子。

        由此可知,分數的分子和分母都應該是非零自然數。從這個意義來說,以上這幾個數徒具分數的形式,而不具分數的實質,因此都不應該視為分數。

        進而,在考查學生對“分數”涵義的理解時,應著眼于通常意義上的分數,將上述這些變異形式納入思考的范圍,其本身對訓練學生的思維并無多大實際意義,而且會令諸如“分數都大于0”等命題的真與假陷入尷尬。

        12、比6多1/2的數”應該是“6+1/2”還是“6+(1+1/2)

        要弄清這個問題,先得弄清“6”的性質。顯然,此處的“6”其實質是一個“數”,而非一個“量”,求“比6多1/2的數”應屬于“求比一個數多幾的數”的范疇,問題中的“多幾”都是確定的具體數,這里的“幾”既可以是整數,也可以是小數或分數。所以,這里的“1/2”是指在6的基礎上“多1/2”這個“1/2”數的本身,而非“6的1/2”。

        所以,“比6多1/2的數”應該是“6+1/2”。

        當然,如果題目確定為“比6多它的1/2的數”,那答案則屬于后者。

        13、計算出勤率可不可以不乘100%?

        先來看看新人教版、北師大版和蘇教版三個不同版本的教材對類似問題的理解。

        同一課程標準下,不同的教材給出了不同的理解,這給執教者帶來了困惑:到底可不可以不乘100%呢?筆者以為,求“××率”其結果必定為百分率。以出勤率為例,就是求實際出勤人數占應出勤人數的百分之幾。

        如果公式只寫成:出勤率=實際出勤人數/應出勤人數,我們說這只是分數形式(也即是求實際出勤人數占應出勤人數的“幾分之幾”),并不是百分數。

        因此,在公式后面乘上“100%”,既可以使計算數值大小不變,又能保證結果形式滿足百分數的要求。因此,計算出勤率、發芽率、出粉率、合格率……的公式中,都應乘“100%”。

        同時建議各版本教材的編委統一思想,以免給一線教師造成認識上的混亂。

        14、小于90度的角都是銳角嗎?

        根據課標教材定義:小于90度的角叫做銳角。答案似乎是肯定的,但由此又產生一個新的問題:0度的角是什么角,也是銳角嗎?

        事實是,銳角定義有一個隱含的前提,就是小學數學中所討論的角都是正角。習慣上,我們把射線按逆時針方向旋轉而得到的角叫做正角,射線按順時針方向旋轉而得到的角叫做負角,當一條射線沒有做任何旋轉時,就把它看成零角。如果將角的概念推廣到任意大小的角,就應分為正角、負角、和零角。

        由此,嚴格意義上的銳角定義應是:大于0度而小于90度的角叫做銳角。

        15、足球比賽記分牌上的“3︰2”是數學中的“比”嗎?

        我們至少可以從兩個方面來理解它們的差別。

        第一, 球類比賽中的“3︰2”表示的是比賽雙方的得分情況,是“差”比,即表示相差關系,一方得3分,另一方得2分,雙方相差1分;數學中的“3︰2”表示的是“3÷2”,是“倍”比,商為1.5。有鑒于此,球類比賽中的“比”(其實是比分),其后數可以為0的,而數學中的“比”,其后數(相當于除數)是不可以為0的。

        第二,數學中的“比”是可以化簡的,如“4︰2=2︰1”;同樣的“4︰2”放在球類比賽中,卻不可以化簡,如果化簡就不能反映雙方在比賽中的實際得分了。

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